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34個小學奧數必須掌握的知識點小學數學高分秘籍

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1、和差倍問題：

和差問題

和倍問題

差倍問題

已知條件

幾個數的和與差

幾個數的和與倍數

幾個數的差與倍數

公式適用范圍

已知兩個數的和，差，倍數關系

公式

①(和－差)÷2=較小數

較小數＋差=較大數

和－較小數=較大數

②(和＋差)÷2=較大數

較大數－差=較小數

和－較大數=較小數

和÷(倍數＋1)=小數

小數×倍數=大數

和－小數=大數

差÷(倍數-1)=小數

小數×倍數=大數

小數＋差=大數

關鍵問題

求出同一條件下的

和與差

和與倍數

差與倍數

2、年齡問題基本特征：

①兩個人的年齡差是不變的；

②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；

③兩個人的年齡的倍數是發生變化的；

3、歸一問題的基本特點：

問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。

關鍵問題：

根據題目中的條件確定并求出單一量；

4、植樹問題：

基本類型

在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹

在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹

在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹

封閉曲線上植樹

基本公式

棵數=段數＋1

棵距×段數=總長

棵數=段數－1

棵距×段數=總長

棵數=段數

棵距×段數=總長

關鍵問題

確定所屬類型，從而確定棵數與段數的關系

5、雞兔同籠問題：

基本概念：

雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來；

基本思路：

①假設，即假設某種現象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設后，發生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；

③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現這個差的原因；

④再根據這兩個差作適當的調整，消去出現的差。

基本公式：

①把所有雞假設成兔子：雞數＝（兔腳數×總頭數－總腳數）÷（兔腳數－雞腳數）

②把所有兔子假設成雞：兔數＝（總腳數一雞腳數×總頭數）÷（兔腳數一雞腳數）

關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。

6、盈虧問題：

基本概念：

一定量的對象，按照某種標準分組，產生一種結果：按照另一種標準分組，又產生一種結果，由于分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關系求對象分組的組數或對象的總量。

基本思路：

先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結果的變化，根據這個關系求出參加分配的總份數，然后根據題意求出對象的總量。

基本題型：

①一次有余數，另一次不足；

基本公式：總份數＝（余數＋不足數）÷兩次每份數的差

②當兩次都有余數；

基本公式：總份數＝（較大余數一較小余數）÷兩次每份數的差

③當兩次都不足；

基本公式：總份數＝（較大不足數一較小不足數）÷兩次每份數的差

基本特點：

對象總量和總的組數是不變的。

關鍵問題：

確定對象總量和總的組數。

7、牛吃草問題：

基本思路：

假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。

基本特點：

原草量和新草生長速度是不變的；

關鍵問題：

確定兩個不變的量。

基本公式：

生長量=（較長時間×長時間牛頭數-較短時間×短時間牛頭數）÷（長時間-短時間）；

總草量=較長時間×長時間牛頭數-較長時間×生長量；

8、周期循環與數表規律：

周期現象：

事物在運動變化的過程中，某些特征有規律循環出現。

周期：

我們把連續兩次出現所經過的時間叫周期。

關鍵問題：

確定循環周期。

閏 年：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；

平 年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

9、平均數：

基本公式：

①平均數=總數量÷總份數

總數量=平均數×總份數

總份數=總數量÷平均數

②平均數=基準數＋每一個數與基準數差的和÷總份數

基本算法：

①求出總數量以及總份數，利用基本公式①進行計算.

②基準數法：根據給出的數之間的關系，確定一個基準數；一般選與所有數比較接近的數或者中間數為基準數；以基準數為標準，求所有給出數與基準數的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數；最后求這個差的平均數和基準數的和，就是所求的平均數，具體關系見基本公式②

10、抽屜原理：

抽屜原則一：

如果把（n 1）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。

例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數的和，那么就有以下四種情況：

①4=4 0 0 ②4=3 1 0 ③4=2 2 0 ④4=2 1 1

觀察上面四種放物體的方式，我們會發現一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。

抽屜原則二：

如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m，那么必有一個抽屜至少有:

①k=[n/m ] 1個物體：當n不能被m整除時。

②k=n/m個物體：當n能被m整除時。

理解知識點：

[X]表示不超過X的最大整數。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

關鍵問題：

構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據抽屜原則進行運算。

11、定義新運算：

基本概念：

定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。

基本思路：

嚴格按照新定義的運算規則，把已知的數代入，轉化為加減乘除的運算，然后按照基本運算過程、規律進行運算。

關鍵問題：

正確理解定義的運算符號的意義。

注意事項：

①新的運算不一定符合運算規律，特別注意運算順序。

②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。

12、數列求和：

等差數列：

在一列數中，任意相鄰兩個數的差是一定的，這樣的一列數，就叫做等差數列。

基本概念：

首項：等差數列的第一個數，一般用a1表示；

項數：等差數列的所有數的個數，一般用n表示；

公差：數列中任意相鄰兩個數的差，一般用d表示；

通項：表示數列中每一個數的公式，一般用an表示；

數列的和：這一數列全部數字的和，一般用Sn表示．

基本思路：

等差數列中涉及五個量：a1 ,an, d, n,sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。

基本公式：

通項公式：an = a1 （n－1）d；

通項＝首項＋（項數一1)×公差；

數列和公式：sn,= (a1 an)×n÷2；

數列和＝（首項＋末項）×項數÷2；

項數公式：n= (an a1)÷d＋1；

項數=（末項-首項）÷公差＋1；

公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；

公差=（末項－首項）÷（項數－1）；

關鍵問題：

確定已知量和未知量，確定使用的公式；

13、二進制及其應用：

十進制：

用0～9十個數字表示，逢10進1；不同數位上的數字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200 30 4=2×102 3×10 4。

=An×10n-1 An-1×10n-2 An-2×10n-3 An-3×10n-4 An-4×10n-5 An-6×10n-7 …… A3×102 A2×101 A1×100

注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然數）

二進制：

用0～1兩個數字表示，逢2進1；不同數位上的數字表示不同的含義。

（2）= An×2n-1 An-1×2n-2 An-2×2n-3 An-3×2n-4 An-4×2n-5 An-6×2n-7

…… A3×22 A2×21 A1×20

注意：An不是0就是1。

十進制化成二進制：

①根據二進制滿2進1的特點，用2連續去除這個數，直到商為0，然后把每次所得的余數按自下而上依次寫出即可。

②先找出不大于該數的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進制展開式特點即可寫出。

14、加法乘法原理和計數：

加法原理：

如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務共有：m1 m2....... mn種不同的方法。

關鍵問題：

確定工作的分類方法。

基本特征：

每一種方法都可完成任務。

乘法原理：

如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務共有：m1×m2.......×mn種不同的方法。

關鍵問題：

確定工作的完成步驟。

基本特征：

每一步只能完成任務的一部分。

直線：

一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。

直線特點：

沒有端點，沒有長度。

線段：

直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

線段特點：

有兩個端點，有長度。

射線：

把直線的一端無限延長。

射線特點：

只有一個端點；沒有長度。

①數線段規律：總數＝1 2 3 … （點數一1）；

②數角規律=1 2 3 … （射線數一1）；

③數長方形規律：個數=長的線段數×寬的線段數：

④數長方形規律：個數=1×1 2×2 3×3 … 行數×列數

15、質數與合數：

質數：

一個數除了1和它本身之外，沒有別的約數，這個數叫做質數，也叫做素數。

合數：

一個數除了1和它本身之外，還有別的約數，這個數叫做合數。

質因數：

如果某個質數是某個數的約數，那么這個質數叫做這個數的質因數。

分解質因數：

把一個數用質數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。通常用短除法分解質因數。任何一個合數分解質因數的結果是唯一的。

分解質因數的標準表示形式：

N= ，其中a1、a2、a3……an都是合數N的質因數，且a1<a2<a3<……<an。< span=""></a2<a3<……<an。<>

求約數個數的公式：

P=(r1 1)×(r2 1)×(r3 1)×……×(rn 1)

互質數：

如果兩個數的最大公約數是1，這兩個數叫做互質數。

16、約數與倍數：

約數和倍數：

若整數a能夠被b整除，a叫做b的倍數，b就叫做a的約數。

公約數：

幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。

最大公約數的性質：

1、 幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數。

2、 幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。

3、 幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數。

4、 幾個數都乘以一個自然數m，所得的積的最大公約數等于這幾個數的最大公約數乘以m。

例如：12的約數有1、2、3、4、6、12；

18的約數有：1、2、3、6、9、18；

那么12和18的公約數有：1、2、3、6；

那么12和18最大的公約數是：6，記作（12，18）=6；

求最大公約數基本方法：

1、分解質因數法：先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來。

2、短除法：先找公有的約數，然后相乘。

3、輾轉相除法：每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個余數，就是所求的最大公約數。

公倍數：

幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。

12的倍數有：12、24、36、48……；

18的倍數有：18、36、54、72……；

那么12和18的公倍數有：36、72、108……；

那么12和18最小的公倍數是36，記作[12，18]=36；

最小公倍數的性質：

1、兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。

2、兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。

求最小公倍數基本方法：1、短除法求最小公倍數；2、分解質因數的方法

17、數的整除：

基本概念和符號：

1、整除：如果一個整數a，除以一個自然數b，得到一個整數商c，而且沒有余數，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。

2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“ ”；因為符號“∵”，所以的符號“∴”；

整除判斷方法：

1.能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。

②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位數字并減去末位數字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的9倍后能被13整除。

整除的性質：

1.如果a、b能被c整除，那么（a b）與（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整數，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數整除。

18、余數及其應用：

基本概念：

對任意自然數a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數，q叫做a除以b的不完全商。< span=""></r<b,那么r叫做a除以b的余數，q叫做a除以b的不完全商。<>

余數的性質：

①余數小于除數。

②若a、b除以c的余數相同，則c|a-b或c|b-a。

③a與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。

④a與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以c的余數的積除以c的余數。

19、余數、同余與周期：

同余的定義：

①若兩個整數a、b除以m的余數相同，則稱a、b對于模m同余。

②已知三個整數a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作a≡b(mod m)，讀作a同余于b模m。

同余的性質：

①自身性：a≡a(mod m)；

②對稱性：若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m)；

③傳遞性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡ c(mod m)；

④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a c≡b d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；

⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，則a×c≡ b×d(mod m)；

⑥乘方性：若a≡b(mod m)，則an≡bn(mod m)；

⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整數c，則a×c≡ b×c(mod m×c)；

關于乘方的預備知識：

①若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b

②若B=c d則MB=Mc d=Mc×Md

被3、9、11除后的余數特征：

①一個自然數M，n表示M的各個數位上數字的和，則M≡n(mod 9)或（mod 3）；

②一個自然數M，X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；

費爾馬小定理：

如果p是質數（素數），a是自然數，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p)。

20、分數與百分數的應用：

基本概念與性質：

分數：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數。

分數的性質：分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。

分數單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數。

百分數：表示一個數是另一個數百分之幾的數。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結果）進行思考。

②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系。

③轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和轉換成倍數關系；把不同的標準（在分數中一般指的是一倍量）下的分率轉化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。

④假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立，計算出相應的結果，然后再進行調整，求出最后結果。

⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發生變化，總量不變。B、總量發生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發生變化，但分量之間的差量不變化。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數量關系單一化、量率關系明朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規律進行處理。

⑧濃度配比法：一般應用于總量和分量都發生變化的狀況。

21、分數大小的比較：

基本方法：

①通分分子法：使所有分數的分子相同，根據同分子分數大小和分母的關系比較。

②通分分母法：使所有分數的分母相同，根據同分母分數大小和分子的關系比較。

③基準數法：確定一個標準，使所有的分數都和它進行比較。

④分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數值越大。

⑤倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數的大小，除了運用以上方法外，可以用同倍率的變化關系比較分數的大小。（具體運用見同倍率變化規律）

⑥轉化比較方法：把所有分數轉化成小數（求出分數的值）后進行比較。

⑦倍數比較法：用一個數除以另一個數，結果得數和1進行比較。

⑧大小比較法：用一個分數減去另一個分數，得出的數和0比較。

⑨倒數比較法：利用倒數比較大小，然后確定原數的大小。

⑩基準數比較法：確定一個基準數，每一個數與基準數比較。

22、分數拆分：

將一個分數單位分解成兩個分數之和的公式：

23、完全平方數：

完全平方數特征：

1.末位數字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

2.除以3余0或余1；反之不成立。

3.除以4余0或余1；反之不成立。

4.約數個數為奇數；反之成立。

5.奇數的平方的十位數字為偶數；反之不成立。

6.奇數平方個位數字是奇數；偶數平方個位數字是偶數。

7.兩個相臨整數的平方之間不可能再有平方數。

平方差公式：

X2-Y2=（X-Y）（X Y）

完全平方和公式：

（X Y）2=X2 2XY Y2

完全平方差公式：

（X-Y）2=X2-2XY Y2

24、比和比例：

比：兩個數相除又叫兩個數的比。比號前面的數叫比的前項，比號后面的數叫比的后項。

比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。

比的性質：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數（零除外），比值不變。

比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性質：兩個外項積等于兩個內項積(交叉相乘)，ad=bc。

正比例：若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍（AB的商不變時），則A與B成正比。

反比例：若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時），則A與B成反比。

比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。

按比例分配：把幾個數按一定比例分成幾份，叫按比例分配。

25、綜合行程：

基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關系.

基本公式：路程=速度×時間；路程÷時間=速度；路程÷速度=時間

關鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和×相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）

追及問題：追及時間＝路程差÷速度差（寫出其他公式）

流水問題：順水行程=（船速 水速）×順水時間

逆水行程=（船速-水速）×逆水時間

順水速度=船速 水速

逆水速度=船速-水速

靜水速度=（順水速度 逆水速度）÷2

水 速=（順水速度-逆水速度）÷2

流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。

過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。

主要方法：畫線段圖法

基本題型：

已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個量，求第三個量。

26、工程問題：

基本公式：

①工作總量=工作效率×工作時間

②工作效率=工作總量÷工作時間

③工作時間=工作總量÷工作效率

基本思路：

①假設工作總量為“1”（和總工作量無關）；

②假設一個方便的數為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數），利用上述三個基本關系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.

關鍵問題：

確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系。

27、邏輯推理：

條件分析—假設法：

假設可能情況中的一種成立，然后按照這個假設去判斷，如果有與題設條件矛盾的情況，說明該假設情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設a是偶數成立，在判斷過程中出現了矛盾，那么a一定是奇數。

條件分析—列表法：

當題設條件比較多，需要多次假設才能完成時，就需要進行列表來輔助分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內的題設情況，運用邏輯規律進行判斷。

條件分析—圖表法：

當兩個對象之間只有兩種關系時，就可用連線表示兩個對象之間的關系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態，沒有連線則表示否定的狀態。例如A和B兩人之間有認識或不認識兩種狀態，有連線表示認識，沒有表示不認識。

邏輯計算：

在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應的計算，根據計算的結果為推理提供一個新的判斷篩選條件。

簡單歸納與推理：

根據題目提供的特征和數據，分析其中存在的規律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關的關系式，從而得到問題的解決。

28、幾何面積：

基本思路：

在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋轉、翻折、分解、變形、重疊等，使不規則的圖形變為規則的圖形進行計算；另外需要掌握和記憶一些常規的面積規律。

常用方法：

1.連輔助線方法

2.利用等底等高的兩個三角形面積相等。

3.大膽假設（有些點的設置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設置在特殊位置上）。

4.利用特殊規律

①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積）

②梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。

29、時鐘問題—快慢：

基本思路：

1、按照行程問題中的思維方法解題；

2、不同的表當成速度不同的運動物體；

3、路程的單位是分格（表一周為60分格）；

4、時間是標準表所經過的時間；

5、合理利用行程問題中的比例關系；

30、時鐘問題—鐘面追及：

基本思路：

封閉曲線上的追及問題。

關鍵問題：

①確定分針與時針的初始位置；

②確定分針與時針的路程差；

基本方法：

①分格方法：

時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時走60分格，即一周；而時針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走1／12分格。

②度數方法：

從角度觀點看，鐘面圓周一周是360°，分針每分鐘轉 360/60度，即6°，時針每分鐘轉360/12X60度，即1/2度。

31、濃度與配比：

經驗總結：

在配比的過程中存在這樣的一個反比例關系，進行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。

溶質：溶解在其它物質里的物質（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質。

溶劑：溶解其它物質的物質（例如水、汽油等）叫溶劑。

溶液：溶質和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。

基本公式：

溶液重量=溶質重量 溶劑重量；

溶質重量=溶液重量×濃度；

濃度= 溶質/溶液×100%=溶質/（溶劑 溶質）×100%

經驗總結：

在配比的過程中存在這樣的一個反比例關系，進行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。

32、經濟問題：

利潤的百分數=（賣價-成本）÷成本×100%；

賣價=成本×（1 利潤的百分數）；

成本=賣價÷（1 利潤的百分數）；

商品的定價按照期望的利潤來確定；

定價=成本×（1 期望利潤的百分數）；

本金：儲蓄的金額；

利率：利息和本金的比；

利息=本金×利率×期數；

含稅價格=不含稅價格×（1 增值稅稅率）；

33、不定方程：

一次不定方程：

含有兩個未知數的一個方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；

常規方法：觀察法、試驗法、枚舉法；

多元不定方程：含有三個未知數的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；

多元不定方程解法：

根據已知條件確定一個未知數的值，或者消去一個未知數，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；

涉及知識點：

列方程、數的整除、大小比較；

解不定方程的步驟：

1、列方程；2、消元；3、寫出表達式；4、確定范圍；5、確定特征；6、確定答案；

技巧總結：

A、寫出表達式的技巧：用特征不明顯的未知數表示特征明顯的未知數，同時考慮用范圍小的未知數表示范圍大的未知數；

B、消元技巧：消掉范圍大的未知數；

34、循環小數：

把循環小數的小數部分化成分數的規則：

①純循環小數小數部分化成分數：將一個循環節的數字組成的數作為分子，分母的各位都是9，9的個數與循環節的位數相同，最后能約分的再約分。

②混循環小數小數部分化成分數：分子是第二個循環節以前的小數部分的數字組成的數與不循環部分的數字所組成的數之差，分母的頭幾位數字是9，9的個數與一個循環節的位數相同，末幾位是0，0的個數與不循環部分的位數相同。

分數轉化成循環小數的判斷方法：

①一個最簡分數，如果分母中既含有質因數2和5，又含有2和5以外的質因數，那么這個分數化成的小數必定是混循環小數。

②一個最簡分數，如果分母中只含有2和5以外的質因數，那么這個分數化成的小數必定是純循環小數。

水滸最神秘一本秘笈？暗藏梁山排名秘密，只有宋江吳用能夠看懂！

文：都頭鄆哥（作者原創授權）

《水滸傳》是一本充滿神話色彩的古典小說，108條好漢都是罡煞星宿轉世，因此遭際及經歷自然非常人可比。梁山上曾豎起“替天行道”的大旗，代表梁山眾人是替天行事，是正道合理的。那么代表梁山眾人為正道的情節中，九天玄女在還道村授宋江三卷天書的情節當是最強有力的證明。書中九天玄女在授天書時，曾對宋江說道：【此三卷之書可以善觀熟視。只可與天機星同觀，其他皆不可見。功成之后，便可焚之，勿留于世。所囑之言，汝當記取。】可見天書只有宋江和吳用兩個人可以看，那么這本神秘的天書究竟是什么內容，經常被讀者指出排座次前已經出現天機星吳用的邏輯錯誤又該如何解釋？我們不妨通過原文來看一下。

一、《水滸傳》中天書出現的情節

以容與堂百回本《水滸傳》為例，在第四十二回九天玄女授天書與宋江后，緊接著在第四十三回，即提到宋江與吳用觀看天書。【這里宋江與晁蓋在寨中每日筵席，飲酒快樂，與吳學究看習天書，不在話下。】之后一打祝家莊時，宋江又一次想起天書之事，【宋江勒馬看時，莊上不見刀人馬，心中疑忌，猛省道；“我的不是了；天書上明明戒說，‘臨敵休急暴。”是我一時見不到，只要救兩個兄弟，以此連夜進兵。】高唐州與高廉斗法時，宋江第一次運用了天書中的法術，【宋江，吳用聽了大驚。與軍師道：“是何神術，如此利害？”吳學究道：“想是妖法。若能回風返火，便可破敵。”宋江聽罷，打開天書看時，第三卷上有‘回風返火破陣’之法。宋江大喜，用心記了咒語并密訣，整點人馬，五更造飯吃了，搖旗擂鼓，殺進城下來。】其后宋江引兵救盧俊義，受阻于大名府時，又一次看天書希望尋求破敵之法，【宋江見攻打子不破，心中納悶：離山已久，不見輸贏。是夜在中軍帳里悶坐，默上燈燭，取出玄女天書，正看之間，忽小校報說：“軍師來見”。】梁山受招安后，于征遼之前，眾人曾赴五臺山參禪，天書再一次出現。【宋江取出羅真人那八句法語，遞與吳用看詳，不曉其意，眾人反覆看了，亦不省的。公孫勝道：“兄長，此乃天機玄語，不可泄漏。收取過了，終身受用，休得只顧猜疑。師父法語，過後方知。”宋江遂從其說，藏於天書之內。】宋軍受阻于渾天陣時，宋江夢遇九天玄女，玄女重提傳授天書之事，【玄女娘娘與宋江曰：“吾傳天書與汝，不覺又早數年矣！汝能忠義堅守，未嘗少怠。今宋天子令汝破遼，勝負如何？”】天書最后一次出現是在南征方臘時，宋軍兵臨睦州城下，方臘手下包道乙施放妖術，宋江命樊瑞作法迎敵，并靠天書上的咒語獲勝。【南軍隊里，蕩起昏鄧鄧黑云來。宋江見了，便喚混世魔王樊瑞來看，急令作法，并自念天書上回風破暗的密咒秘訣。只見關勝頭盔上，早卷起一道白云，白云之中，也顯出一尊神將，紅發青臉，碧眼撩牙，騎一條烏龍，手執鐵錘，去戰鄭魔君頭上那尊金甲神人，下面兩軍吶喊。】

綜上可知，通過《水滸傳》中關于天書的描寫，我們主要得到以下幾點信息：

1、天書為九天玄女傳授宋江。

2、宋江時刻將天書帶在身邊。

3、天書只有宋江、吳用二人能看，但是眾人都知道天書的事。

4、天書中有記載關于行軍打仗注意事項及咒語、秘訣之類的信息。

至此，我們對天書已經有了一個大致的了解，所謂天書，其實是本服務于行軍打仗的兵書，這也和歷史記載中九天玄女曾授黃帝兵信神符的記載相符。那么九天玄女告誡宋江天書只能和天機星共觀之語，與排座次前宋江已經知道天機星是吳用的邏輯錯誤又該如何解釋呢？一種解釋是此句話是作者寫作或刻印時的疏漏，比如后世屬于簡本系統的劉興我本就沒有“只可與天機星同觀，其他皆不可見”這句話。筆者以為，除此之外，還有一種解釋。《水滸傳》在排座次之前，其實還有兩位好漢的星號也提前出現，那就是公孫勝和李逵二人，在梁山眾人于高唐州失利，戴宗、李逵奉命去二仙山向羅真人、公孫勝求援時，羅真人曾在戲弄李逵后，對戴宗說道：【貧道己知這人是上界天殺星之數，為是下土眾生，作業太重，故罰他下來殺戮。吾亦安肯逆天，壞了此人？只是磨他一會，我叫取來還你。】之后，在臨下山時，羅真人又囑咐公孫勝道：【弟子，你往日學的法術與高廉一般。吾今特授與汝‘五雷天心正法’，依此而行。可救宋江，保國安民，替天行道，你的老母，我自使人早晚看視，勿得憂念。汝本上應天閑星數，以此暫容汝去遭。】這說明像羅真人這樣的世外高人是知道宋江等人是天星下界的，而作為羅真人的首席高徒，朝夕相伴，公孫勝不會一點耳聞也沒有。宋江上山時，公孫勝早已在梁山上，又是機密頭領之一，宋江私下求教于公孫勝也不無可能。

二、《大宋宣和遺事》中的天書

作為《水滸傳》早期原始資料的《大宋宣和遺事》，當是關于水滸天書最早的記載，書中寫道：【宋江見官兵已退，走出廟來，拜謝玄女娘娘；則見香案上一聲響亮，打一看時，有一卷文書在上。宋江才展開了，認得是個天書；又寫著三十六個姓名，又題著四句道，詩曰：‘破國因山木，兵刀用水工；一市充將領，海內聳威風。’宋江讀了，口中不說，心下思量：‘這四句分明是說了我里姓名。’又把開天書一卷，仔細觀覷，見有三十六將的姓名。那三十六人道個甚底？智多星吳加亮……鐵天王晁蓋。宋江看了人名，未后有一行字寫道：‘天書付天罡院三十六員猛將，使呼保義宋江為帥，廣行忠義，殄滅奸邪。’】

在此書中，天書為一卷，且內容主要是記載宋江的統帥地位，以及以吳加亮為首的部下三十六人姓名和排序，類似于一本花名冊，并未見兵書的影子。

三、《蕩寇志》中的天書

《蕩寇志》作為《水滸傳》的另類續書，因為丑化梁山好漢，因此一直以來褒貶不一。而該書與原著相悖的諸多情節中，就有石碣造假的情節，但另一方面，作者卻又承認天書的真實性，且對天書做了更為細化的補充。該書第九十四回“司天臺蔡太師失寵，魏河渡宋公明折兵”寫道：【氣得個李逵暴躁如雷，道：“為何不渡過河去，怕他甚鳥！”宋江道：“兄弟也說得是。”便傳令搭浮橋渡河。吳用再三苦勸道：“哥哥，你忘了天書上明明寫著：臨敵休急暴，對陣莫匆忙；急暴難取勝，匆忙多敗亡。古來兵家犯此取敗者，不知其數，兄長豈可蹈其覆轍。請暫息一時之怒，從長計較。吳某不才，管取一條計勝他。”】

將《水滸傳》中出現的天書上的一句‘臨敵休急暴’擴展為四句話，且頗有道理，不得不說《蕩寇志》之所以流傳到現在，其文學水平比較高是很重要的一個原因。

可以看出，天書在水滸故事的演變過程中，因為情節需要而被逐漸的細化和拓展，內涵愈見豐富，這也是《水滸傳》非一時一人之作，而是在長時間的流傳過程中逐漸完善并最終成書的一個明證。

四川麻將血戰到底最新規則，爛熟于心才能穩操勝券，麻友們來看看

各位麻友，大家好！我是麻哥，一個擅長打麻將的奧數老師，今天給大家講講川麻規則！

一、概述

四川麻將采用四川地區流行的麻將打法，尤其是成都及周邊流行的打法。核心是打缺門，刮風下雨，成都計番規則，流局查叫查花豬。同時還加入了定缺、自摸加翻的玩法，增加了游戲樂趣！

在麻將牌中去掉了“中，發，白”的字牌，去掉了“東，南，西，北”的風牌。只剩下筒，條，萬，三色牌一共108張。麻將的打法按照當前流行的十三張打法。

二、開局

擲一次色子，按照點數大小確定莊家，大為莊；莊家再擲一次色子，確定抓牌墩數，與武漢麻將相同。

每局莊家為上一局第一個胡牌的玩家，如上一局有玩家一炮雙響，則放炮玩家為本局莊家。

三、 麻將規則

成都麻將規定，做牌的時候，游戲玩家必需從筒，條，萬的三色牌中任意打缺一門牌才能胡牌。

1、血戰到底

必須缺門可胡，即胡牌時不能有三種花色的牌同時出現。同時，加入血戰的功能。即一家胡牌以后停止,其余幾家繼續打牌,直到剩下最后一家沒有胡牌的玩家或者摸完最后一張牌。

2、刮風下雨

在血戰打法的基礎上，加入刮風下雨的功能，也就是杠牌。刮風為明杠，下雨為暗杠。

刮風（明杠）：玩家手中有三張一樣的牌，其它玩家打出了第四張一樣的牌，玩家可以選擇杠牌，這種叫做直杠，只收一家的籌碼。或者是玩家手上已經碰了三張一樣的牌，當玩家自己又摸起了第四張一樣的牌，這時，玩家也可以選擇杠牌。這種杠牌可以收桌面上其它所有還未胡牌的玩家的籌碼。

下雨（暗杠）：玩家有四張一樣的牌就可以拿出來進行下雨。這樣的杠牌可以收桌面上其它所有還未胡牌的玩家的籌碼。

3、有的現在還加入幺雞仍作。即拿到手里幺雞想它是啥就是啥,這個變數就更大。

四、打牌名詞解釋

1、打缺

在四川麻將的做牌規則里面，筒、條、萬三種花色，必須打缺其中的一門花色，用剩下的兩門花色來做牌。

2、碰牌

當玩家手中有兩張一樣的牌，由其他玩家打出了第三張一樣的牌時，玩家可以選擇碰牌。

3、杠牌

杠牌分為明杠和暗杠兩種。明杠是玩家手中有三張一樣的牌，當其他玩家打出了第四張一樣的牌時，玩家可以選擇杠牌。或者玩家已經碰了三張一樣的牌時，玩家自己又摸到了第四張一樣的牌，就可以選擇杠牌了。暗杠是當玩家自己摸到了四張一樣的牌時，此時玩家可以選擇從手中把牌拿出來杠牌。

杠牌可隨時進行，比如自己手上有三張一樣的牌，別人打出第四張時，可先選擇碰，待自己下叫或其他時候再杠牌。

4、下叫

玩家根據牌型的規則，做好牌以后，并差一張牌就可以胡牌時，此時，玩家的牌的狀況就叫做下叫。

5、胡牌

當玩家的牌下叫以后，由其他玩家打出了一張牌，正好是玩家的叫牌，此時，玩家可以選擇胡牌。或者由玩家自己摸到了需要的叫牌，也可以選擇胡牌。玩家自己摸到的胡牌方式叫做自摸。

6、流局

流局是指當桌面上所有牌都被摸完后，若還有兩個或兩個以上的玩家沒有糊牌，則此時游戲為流局。

游戲流局后，會有查衛生和查叫兩種處理方式。

7、查衛生（查花豬）

查衛生是指當玩家在進入流局后，若手上的牌還有3種花色的話，將會被其他已經打缺的玩家進行查衛生。在牌打完后，手上還有3種花色的牌的玩家俗稱"花豬"，所以查衛生也叫做查花豬。是花豬的玩家需要賠4番（×16倍）給其余所有不是花豬的玩家（包括已經糊牌的）。

若有兩家或者三家為花豬，則每個花豬玩家都需要賠給不是花豬玩家4番金幣。

8、查叫

在摸完最后一張牌后，如果有玩家還沒有胡牌時，已下叫的一方對還沒有下叫的一方進行查叫。

查叫是指當玩家在進入流局后，若手上的牌還沒有下叫，將會被已經下叫的玩家進行查叫。被查的玩家將按其他已下叫的玩家手上的牌型來賠番數。

查叫方按照所做牌型番數的最大番數對被查叫方進行查叫。例如牌型：1筒99萬。就是按暗七對的牌型計算，而不是基本胡。

9、退稅

流局查叫時，未下叫者（包括花豬）將退回所有刮風下雨的所得。

以上就是今天文章的內容，下次我們講血戰到底的胡牌規則及計番規則！歡迎大家關注轉發。

門入圍第十三屆中國舞蹈最高獎荷花獎舞劇終評

9月21日下午，第十三屆中國舞蹈“荷花獎”舞劇入圍終評結果正式發布，由西安演藝集團?西安歌舞劇院出品的原創劇目——舞劇《門》成功入圍終評作品名單，這也是進入本屆“荷花獎”舞劇終評的8部作品中，西北地區唯一入圍的作品。

中國舞蹈荷花獎由中國文聯、中國舞協主辦，是中國專業舞蹈藝術最高成就的專家獎，也是在規范國家級文藝性評獎后，唯一保留的全國性舞蹈藝術專業獎項，其獎項權威性與中國電影金雞獎、中國電視金鷹獎、中國戲劇梅花獎等屬同一級別。作為舞蹈界的至高榮譽，“荷花獎”評獎活動匯聚來自全國舞蹈行業精英近年的優秀作品，歷屆評獎競爭都十分激烈。

能夠從強者如云中，躋身“全國8強”，來自西安的舞劇《門》又有什么“舞”門秘笈？

在舞臺之上鋪展開唐長安108坊詩畫傳奇般的瑰麗卷軸——舞劇《門》以“門”為貫穿，以大唐長安為背景，通過九組故事，全方位展示了盛唐風華，及唐代各個階層人物的不同命運。它將豐富的情感和深刻的思想浸透在舞臺表達中，以小人物為切入點，引領觀眾回望別樣的大唐盛世，觸碰千年前的煙火氣息。在舞臺之上，實現了“推開一扇門，遇見一群人，長安里坊，世間百態”以及“關上是歷史，打開是未來”的獨特語境。

洞察大唐長安108坊的景象，需要推開一扇歷史之門；了解千年歲月中凝聚不散的國人情思，需要推開一扇人情人性之門。《門》勾勒出一幅幅家國人情百轉千回的動人畫卷，讓人回味。評論家胡安忍曾在觀演后表示：“《門》懷著一種憂患意識、人文情懷，通過對唐代坊間人情世態的描寫，讓觀眾體會到愛情、親情和友情帶來的人生悲歡。對人生、命運、價值的關注及純真情感的珍視，是該劇最珍貴的審美取向。”

記者從對西安歌舞劇院的創作采訪中了解到，作為具有鮮明西安標識與西安烙印的原創舞劇，《門》在創作中，創新式的以現代視角解讀唐代的大美，在舞臺呈現中，巧妙采用空間轉換，融合古典音樂與現代音樂，大膽使用天地排燈光效果，將輕盈靈動的舞蹈、美術、詩歌合為一體，讓人間煙火與陽春白雪同在，令歷史與現實在不動聲色間完成著對話。用舞之魅、詩之味、藝之美勾勒出一幅幅生動唯美的“唐文化”側影。用總導演易杰的話說，整部舞劇的亮點在于其簡單而真實的質感，“用一種極簡風格，展現一種潤物細無聲的美，一種如雪后初霽的美。”

門啟聽風來，麗色滿人間。舞劇《門》自創排完成后，迄今已相繼在西安人民劇院、陜西大劇院、西演LIVE?寶雞大劇院等劇院演出，熱度出圈。該劇同樣在不斷的演出中，汲取觀眾意見，精打細磨、提升改進，讓舞美和服化道精益求精。西安歌舞劇院總經理趙鵬表示：“希望以《門》為代表，打造舞蹈舞臺的西安文藝新名片，在創新中呈現歷史文化風韻，讓更多人以此感受西安歷史的豐富與燦爛。”

在沖刺“荷花獎”的同時，記者今日同時了解到，眼下，舞劇《門》正在緊鑼密鼓進行新一輪排練——這部誕生于西安的精品舞劇，即將登上國家大劇院這一國家級藝術殿堂，以長安所承載的厚重人文歷史為依托，用輕盈極簡的編創和現代創新語境，綻放古城文藝的新魅力。（西安報業全媒體記者 孫歡 實習生 袁藝函 圖/ 西安歌舞劇院提供）

編輯：安之

社群如何運營，才能達到事半功倍的效果

隨著互聯網技術的發展和人們消費認知的提升，社群營銷是產品營銷渠道的重要渠道。打造好的社群營銷，增加企業與客戶的直接互通，并可以減少大量營銷和管理成本。社群營銷是在網絡社區營銷及社會化媒體營銷基礎上發展起來的用戶連接及交流更為緊密的網絡營銷方式。網絡社群營銷的方式，主要通過連接、溝通等方式實現用戶價值，營銷方式人性化，不僅受用戶歡迎，還可能成為繼續傳播者。建立和運營網絡社群的條件包括：人力和資金、內容和服務、時間和耐心、產品及營銷模式等。其運營模式和流程，與一般的SNS營銷并無原則性差別，但對溝通和服務方面有更高的要求，而不是簡單的通過社交網絡實現“內容營銷”。因此，社群運營至關重要。要做好社群營銷，建議從以下幾個方面入手。

社群如何運營，才能達到事半功倍的效果

一、明確定位：搞清建群動機

1、銷售動機：銷售產品，服務客戶；

2、人際動機：建群是為了形成社交圈；

3、成長動機：用學習和分享提高自己；

4、品牌動機：打造自己的品牌；

5、吸引粉絲動機：為吸引更多精準用戶；

6、代理動機：發展更多營銷下線；

7、服務動機：為群友提供更多服務。

二、社群分類: 明確客戶群體和定位

1、產品類社群；

2、同好類社群；

3、知識類社群；

4、資源類社群；

5、項目協作類社群；

6、混合類社群。

三、著手建群：組建運營團隊，設置運營規則

1、群主：維護、管理、運營群的核心；

2、意見領袖：極有威信力的群內靈魂人物；

3、管理員：發布消息、維護群秩序的主力；

4、群規設定：有組織有規矩；

5、打造特色：設置微信群專有標簽。

四、用心培養種子用戶

1、關于種子用戶；

2、名人效應：讓有影響力的中間人物介入；

3、參與效應：開放用戶參與度節點；

4、發起人法：借助特殊身份吸引更多人加入；

5、邀請機制：用邀請碼吸引初始用戶；

6、互動傾聽：傾聽用戶的心聲；

7、口碑傳播：口口相傳是做好產品的根基；

8、內測效應：下放用戶特權。

五、用戶數量裂變：真粉轉化，以一抵十

1、好友引流：靠譜的好友都可能成為真粉；

2、種子引導：引導種子用戶進行推廣；

3、撰寫文案：好的文案更吸引人；

4、免費效應：“免費送”是慣用招數；

5、內容為王：用優質內容挖掘真愛粉；

6、事件影響：打造傳播熱點；

7、情感關聯：用感情“黏住”真粉；

8、馬斯洛需求層次理論：抓住人們不用層次的需求。

六、社群活躍度: 吸引持續關注和互動

1、社群的嚴格門檻；

2、持續的干貨輸出；

3、線上線下活動結合；

4、培養社群用戶的身份認同感；

5、社群內部利益共贏。

七、盈利通道：微信群盈利模式

1、優惠模式：定時派發優惠；

2、微信群收費：收費必有價值；

3、會員繳費：聚焦解決用戶痛點；

4、服務費模式：推廣產品，收取傭金；

5、培訓模式：推出高級課程收取續費；

6、微商模式：傳授微商干貨的用時賣產品。

八、營銷陣地：打造“司令部式”的微信陣地

1、司令部：意見領袖引導互動營銷；

2、精英連：群內精英大力推廣；

3、朋友圈：個人微信號分享式營銷；

4、公眾號：開展有質感的公眾號營銷；

5、外援部：邀請大咖加盟實現廣泛營銷；

6、游擊戰：充分利用資源和方法。

九、實時維護：別讓微信群變成僵尸群

1、沒有維護的微信群就是沒有商品的商店；

2、完善群規：為群員創造更大的價值；

3、定時清理：群成員審核要嚴格把關；

4、活躍有方：主動制造活躍話題；

5、組織活動：定期交流拉近關系；

6、紅包轟炸：多發“紅包”準沒錯。

十、汲取教訓：總結教訓，修正提升

1、沒有焦點，缺乏長遠定位；

2、錯誤的“去中心化”；

3、認為群成員越多越好；

4、灌水、垃圾、騷擾信息太多；

5、過度開發造成群“蒸發”；

6、推送信息的時間不規律。

社群營銷有一下好處：

1、低成本高收益，操作簡單。對于任何的企業而言，追求低成本投入，高收益的做法是很普遍的，也是很關鍵的。社群營銷這種模式可以實現低成本投入,回報是比較高的，較傳統銷售方式更有優越性。該營銷模式把購買與傳播進行結合，拉動市場帶給企業更多的福利。

2、讓企業收益猛增，增加客戶粘性。社群營銷通過營造場景讓更多客戶了解到商品價值，結合社群平臺溝通，讓客戶與商家相互了解甚至成為朋友。對于客戶的需求，商家可以了如指掌，這樣可以把商品做到客戶心里，交易量自然上升很快。

3、輕松實現良性口碑傳播，增加品牌美譽度。社群營銷可以建立商家與客戶溝通的橋梁，在銷售過程中兩者可以成為朋友，商品自然得到大家重視。在社群營銷環境中，商家的商品很容易形成良好的口碑宣傳。有了如此好的口碑，自然商家會得到更多的訂單。

4、傳播更高效，品牌優勢容易建立。社群營銷建立后，商家的商品活動可以得到群成員的口口相傳，以群內現有人員去進行宣傳，呈現出分列式推廣，讓企業得到更多的客戶資源。其實這就是互聯網環境下催生出的社群營銷的價值所在。

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